最值问题是国考每年的必考题型，备考中需要重点突破的题型。本文就最值问题的题型与知识点进行梳理。

　　题型识别

　　当题干中出现“至少……(才)保证……”、“至少……都”、“最……最多(少)……”、“排名第……最多(少)”等字眼时，均可判定该题为最值问题。

　　题型分类

　　最值问题重点考察最值思想。根据题目特点，最值问题可以分为三类，且每类的解答方法不同。

　　表1：最值问题各题型及对应解法

　　考务考情

　　这三类题型在国考中均有考察，2008到2012年国考最值问题的分布见表2。

　　表2:2008-2012年国考最值问题题型分布题型

　　由表2可以看出，构造数列或不等式为最值问题考核的重点。

　　典型例题详解

　　抽屉原理

　　【例1】(2012-国家-66)有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同?()

　　A.71 B.119

　　C.258 D.277

　　【答案】C

　　【题眼】“至少……保证……”

　　【解析】本题属于抽屉原理。最不利的情况是人力资源管理类50个人都找到工作，其他专业各69人找到工作。此时，再多一人，必然有一类达到70人，因此所求人数为69×3+50+1=258人。因此，本题答案为C选项。

　　【例2】(2012-深圳-16)有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双，混杂在一起，要求闭着眼睛，保证从中摸出不同颜色的2双筷子，则至少要摸出()根。

　　A.8 B.9

　　C.10 D.11

　　【答案】D

　　【题眼】“保证……至少……”

　　【解析】本题考察抽屉原理。最不利的情形是一种颜色的筷子摸出8支，其他两种颜色每种摸出1支，此时只要再摸出一支，就能保证有两双不同颜色的筷子。因此至少要摸出8+2+1=11支筷子。因此，答案选择D选项。

　　【点拨】抽屉原理问题难度较小，找出“最不利的条件”即可。

　　多集合问题

　　【例3】(2010-联考918-40)某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?()

　　A.5 B.6

　　C.7 D.8

　　【答案】A

　　【题眼】“至少……四项都……”

　　【解析】若“四项都喜欢的最少”，可考虑四项都不喜欢的最多。不爱好戏剧的有46-25=11人，不爱好体育的有46-30=16人，不爱好写作的有46-38=8人，不爱好收藏的有46-40=6人，因此不全爱好的人最多有11+16+8+6=41人，全爱好的就有46-41=5人。因此，答案选择A选项。

　　【点拨】本题根据最值思想，反向构造。

　　【例4】(2008-国家-56)共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试?()

　　A.30 B.55

　　C.70 D.74

　　【答案】C

　　【题眼】“至少……能”

　　【解析】1~5题答错的人数分别有100-80=20、100-92=8、100-86=14、100-78=22、100-74=26人。则所有人错题的数目=20+8+14+22+26=90，根据题意，答错3道题目的人就不能通过考试，那么错3题的人数最多=90÷3=30。则至少通过考试的人=100-30=70人。因此，答案选择B选项。

　　【点拨】本题难度比上题稍大。首先根据逆向思维，将题目转化为“错3道题目的人数”的最大值，再根据错题的总数目，最终求解。

　　构造数列

　　【例5】(2009-国家-118)100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加?()

　　A.22 B.21

　　C.24 D.23

　　【答案】A

　　【题眼】“第四多……最多……”

　　【解析】参加第四多的活动的人数最多，就要保证参与其他活动的人最少，那么排名五、六、七的参加人数最少为3、2、1人，设参加第四多的人数为X人，则排名第三、二、一的参加人数至少为X+1、X+2、X+3，根据题意可得1+2+3+X+(X+1)+(X+2)+(X+3)=100，解得X=22。因此，答案选择A选项。

　　【点拨】此题有三个关键点。一是“每项活动参加的人数都不一样”是明确的“不等”。二是假定排名第四的参与人数确定，则排名第三、二、一的也可确定最小值。三是排名第七、六、五的参加人数为1、2和3。

　　【例6】(2010-国家-55)某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分?

　　A.89 B.88

　　C.91 D.90

　　【答案】A

　　【题眼】“第十的人……最低……”

　　【解析】20人总共失分(100-88)×20=240。根据20×95%=19，即只有1人不及格，要使第十名失分尽量多(得分尽量低)，则要保证其他人失分最少。则前9名分别失分0、1、…、8分，设第十名最少失分X，则第11名至第19名失分分别为X+1、X+2、…，X+9，第20名不及格，最少失分100-59=41，根据题意可得(0+1+…+8)+[X+(X+1)+(X+2)+…(X+9)]+41=240，解得X=11.8，则第10名最多失分11，得分89。因此，答案选择A选项。

　　【点拨】本题和上题有相似之处，思路一致，但运算难度大。题目与等差数列结合，需要运用等差数列的求和公式。难点一是根据总的失分确定(总分数也可，但运算量加大)，由排名第十的分数，分别构造排名1~9、11~19和第20名的分数。难点二是求解结果为小数，注意取整。最多失分为11.8，取整为11。

　　【例7】(2011-联考-46)10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子总重的1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤?()

　　A.200/11 B.500/23

　　C.20 D.25

　　【答案】B

　　【题眼】“最重的……最多……”

　　【解析】要保证最重的最重，就要使其他的箱子最轻。设最重的箱子重为Y，最轻的箱子重X，为保证除最重的箱子外，其他箱子最轻，则其他九个箱子重量均为X，根据题意，9X+Y=500，Y+2X=1.5×3X，解得Y=2.5X=500/23。因此，答案选择B选项。

　　【点拨】本题的难点在于正确构造“最重的箱子最重”的情况，题干没有明确的“不等”，需要去挖掘暗含的“等”。